☛ Plongée sous marine - Volumes des gaz

Énoncé

Le gaz est compressible et son volume est proportionnel à la pression qu’il subit. Par exemple, on considère un ballon qui contient un volume de 12 litres d'air en surface. On met le ballon sous l'eau. Il va alors subir une pression absolue de 2 bars à 10 mètres et son volume sera réduit de moitié : il ne fera plus que 6 litres ! Si on descend le ballon à 30 mètres de profondeur, il subira une pression absolue de 4 bars. Son volume sera alors 4 fois moins important qu'en surface : il ne fera plus que 3 litres.

Un loi physique régit ce principe : c'est la loi de Mariotte.
En résumé, voici la formule obtenue :
\(\text{Volume du gaz à une profondeur de}~x~\text {mètres} = \dfrac{\text{volume de gaz en surface}}{\text{pression absolue à}~ x~\text{mètres}}\)
où les volumes de gaz sont exprimés en litres et la pression absolue est exprimée en bars.

La pression absolue \(p(x)\), en bars, à \(x\) mètres de profondeur est telle que \(p(x)=1+\dfrac{x}{10}\).

1. Un ballon a un volume de 30 litres à la surface. On l'immerge à 42 mètres de profondeur. Quel est alors son volume ? Arrondir à 0,01 près.

2. Un ballon sur un fond de 50 mètres a un volume de 67 litres. Quel est son volume en surface ? 

3. Une bouteille d'eau a un volume de 6 litres en surface. On l'immerge et son volume devient 1,875 litre. À quelle profondeur est immergée la bouteille ?

4. On considère une bouteille de plongée de 12 litres. Elle est gonflée à 200 bars. Le volume d'air qu'elle contient est alors de \(12\times200 = 2~400\) litres en surface. Quel sera le volume d'air qu'elle contient à 38 mètres de profondeur ?
Pour information, un plongeur consomme environ 15 litres d'air par minute.

Solution

1. \(p(42) = 1+\dfrac{42}{10} = 5,2\)
La pression absolue à 42 mètres de profondeur est de 5,2 bars.
\(\dfrac{30}{5,2}\approx 5,77\)
Le volume d'air contenu dans le ballon à 42 mètres de profondeur est d'environ 5,77 litres.
2. \(p(50) = 1+\dfrac{50}{10} = 6\)
La pression absolue à 50 mètres de profondeur est de 6 bars.
\(67=\dfrac{\text{volume du gaz à la surface}}{6}\)
\(6\times67=402\)
Le volume d'air contenu dans le ballon à la surface est de 402 litres.

3. \(1,875 =\dfrac{6}{p(x)}\) donc  \(p(x) = \dfrac{6}{1,875}=3,2\) . On résout l'équation \(p(x) =3,2\) .
\(\begin{align} &p(x) = 3,2 \\ &1 + \dfrac{x}{10} = 3,2 \\& \dfrac{x}{10}=3,2-1\\&x={2,2}\times{10}\\&x=22\end{align}\)

La bouteille est immergée à 22 mètres de profondeur.

4. \(p(38) = 1 + \dfrac{38}{10} = 4,8\)
\(\dfrac{2~400}{4,8}= 500\).
À 38 mètres de profondeur, la bouteille de plongée contient 500 litres d'air.